GIẢI MỘT BÀI TOÁN NHƯ THẾ NÀO? – CÓ MỘT CÂU TRẢ LỜI TỪ 66 NĂM TRƯỚC

Các bậc phụ huynh và các cháu thân mến!

Lâu quá Dinh không viết bài cho Blog của lớp, một phần cũng do công việc bận quá. Vậy mới thấy những cố gắng liên tục của bạn Phong là bền bỉ và đáng quý. Hôm nay Dinh viết tặng các bậc phụ huynh và các cháu một bài liên quan đến toán học. Rất lâu rồi không học và làm toán như hồi còn ở phổ thông nhưng đọc và viết đôi điều về toán thì Dinh vẫn thấy rất vui.

Có lẽ các câu hỏi đại loại như “giải một bài toán như thế nào?”, “làm thế nào để giải toán tốt hơn?” là các câu hỏi mà hầu hết các cháu học sinh, các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh đều đặt ra. 66 năm trước (vào năm 1945) đã có một câu trả lời khi cuốn sách “GIẢI MỘT BÀI TOÁN NHƯ THẾ NÀO?” (How to solve it) của G.Polya đã được xuất bản. G.Polya là một nhà toán học và sư phạm lỗi lạc người Mỹ. Các tác phẩm viết về toán của ông (cuốn kể trên và 2 cuốn: cuốn Toán học và suy luận có lý và cuốn Sáng tạo toán học) đều được dịch ra nhiều thứ tiếng trên thế giới. Ở Việt Nam 3 cuốn này đều được dịch ra từ rất sớm và tái bản nhiều lần. Dinh có đọc cuốn “Giải một bài toán như thế nào?” cách đây khoảng hai năm.

Vì G.Polya là một nhà toán học và sư phạm vĩ đại nên ý định viết đôi điều sau khi đọc sách của ông (mà lại không phải là người học và làm toán chuyên nghiệp) là rất quá sức với bản thân. Tuy vậy trong phạm vi diễn đàn của lớp, Dinh xin được mạnh dạn viết vài ý của riêng mình.

Khi gặp một bài toán, nhiều khi chúng ta không biết làm thế nào và bắt đầu từ đâu. Cũng như trước một đề tài cần viết thì không biết viết gì và bắt đầu viết từ đâu (cắn bút). Có tình trạng đó là vì khi đó chúng ta tư duy mà không tư duy, suy nghĩ mà đầu trống không. Tức là tư duy của chúng ta không có những điểm tựa để phát triển và tiến đến đích. Một em bé tập đi muốn đi đến đích thì trên đoạn đường đi cần có các thanh vịn tay hay các điểm tựa nâng đỡ. Tư duy của chúng ta cũng vậy, cần những điểm tựa để đẩy về phía đích. Điểm thành công của G.Polya (theo Dinh) là ông đã phân tích quá trình tư duy giải một bài toán và tạo ra các điểm tựa cho tư duy. Nhờ các điểm tựa này, nếu vận dụng tốt thì học sinh trung bình về toán có thể trở lên khá, học sinh khá có thể trở lên giỏi,…Vậy những điểm tựa đó là gì?

G.Polya phân chia quá trình giải một bài toán thành 4 giai đoạn. Trong mỗi giai đoạn người giải toán cần tự hỏi mình một số câu hỏi (hay người hướng dẫn giải toán nên khéo léo hỏi học sinh của mình một số câu hỏi). Dinh xin liệt kê dưới đây như theo sách:

1. HIỂU RÕ BÀI TOÁN

Các câu hỏi nên hỏi trong giai đoạn này là:

Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện? Có thể thỏa mãn được điều kiện hay không? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn? Có cần vẽ hình và đưa vào các ký hiệu thích hợp? Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện và có thể diễn tả các điều kiện đó thành công thức không?

2. XÂY DỰNG MỘT CHƯƠNG TRÌNH GIẢI BÀI TOÁN

Các câu hỏi nên hỏi trong giai đoạn này là:

- Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán ở một dạng hơi khác?

- Bạn có biết bài toán nào liên quan không? Một định lý nào có thể dùng được không?

- Xét kỹ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay có ẩn tương tự

- Nếu có một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi thì có thể sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó hay sử dụng phương pháp? Có phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không?

- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa?

- Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một bài toán tổng quát hơn không? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải một phần của bài toán không? Hãy giữ lại một phần của điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác định đến chừng mực nào, nó biến đổi thế nào? Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một yếu tố có ích không? Bạn có thể nghĩ ra những dữ kiện khác có thể giúp bạn xác định được ẩn không? Có thể thay đổi ẩn, hay các dữ kiện, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn mới và dữ kiện mới gần nhau không?

- Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện hay chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

3. THỰC HIỆN CHƯƠNG TRÌNH

Khi thực hiện chương trình hãy kiểm tra lại từng bước. Bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không?

4. NGHIÊN CỨU LẠI CÁCH GIẢI ĐÃ TÌM RA

- Bạn có thể kiểm tra lại kết quả không? Có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán không?

- Có thể tìm được kết quả một cách khác không?

- Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toán nào khác không?

Đến đây các bậc phụ huynh và các cháu có thể thấy các bước giải một bài toán và các câu hỏi sử dụng hướng dẫn tư duy (làm điểm tựa cho tư duy) trong quá trình tìm lời giải cho một bài toán cũng không quá mới và xa lạ. Trong sách của mình G.Polya đã lấy các bài toán làm ví dụ cụ thể để phân tích 4 bước giải toán và các câu hỏi được sử dụng, làm cho người đọc có cảm tưởng quá trình tư duy giải một bài toán là rất rõ ràng, có thể “sờ mó” và kiểm soát được. Mà khi đã kiểm soát được quá trình tư duy của mình thì chắc chắn việc giải toán sẽ nhẹ nhàng và hứng thú hơn. G.Polya cũng khuyên các bậc phụ huynh khi hướng dẫn các cháu giải một bài toán cụ thể nên hiểu rõ tư duy của các cháu đang ở giai đoạn nào để sử dụng các câu hỏi cho phù hợp và khéo léo để làm thế nào hướng tư duy của các cháu đến đích mà không làm cho các cháu cảm thấy người hướng dẫn đã can thiệp vào quá trình tư duy của mình.

Một bài viết hơi dài nhưng Dinh nghĩ chưa bằng một hạt cát trong sa mạc so với các cuốn sách của G. Polya. Chúc các bậc phụ huynh và các cháu hứng thú khi tìm đọc các tác phẩm của ông.

Chúc các bậc phụ huynh và các cháu mạnh khỏe, nhất là các cháu sẽ giải toán giỏi hơn.

Đinh Ngọc Dinh